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		<p align="left">
			Uma empresa produz 2 produtos em uma de suas fábricas. Na fabricação
			dos 2 produto, 3 insumos são críticos em termos de restringir o
			numero de unidades dos 2 produtos que podem ser produzidas: as
			quantidades de matéria prima (tipos A e B) disponíveis e a mão de
			obra disponível para a produção dos 2 produtos. Assim, o Departamento
			de Produção já sabe que, para o próximo mês, a fabrica terá
			disponível, para a fabricação dos 2 produtos, 4900 quilos da matéria
			prima A e 4500 quilos da mateia prima B. Cada unidade do produto tipo
			I, para ser produzida consome 70 quilos da matéria prima A e 90
			quilos da matéria prima B. Por sua vez, cada unidade do produto tipo
			II para ser produzida, utiliza 70 quilos da matéria prima tipo A e 50
			quilos da matéria prima tipo B. <br />
			<br />Como a produção dos 2 produtos utiliza processo diferentes, a
			mão de obra a mão de obra é especializada e diferente para cada tipo
			de produto, ou seja não se pode utilizar a mão de obra disponível
			para a fabricação de um dos produtos para produzir o outro. Assim,
			para a produção do produto tipo I a empresa terá disponível, no
			próximo mês, 80 homens-hora. Já para o produto tipo II terá 180
			homens-hora. Cada unidade do tipo I, para ser produzida, utiliza 2
			homens-hora enquanto que cada unidade do produto tipo II utiliza 3
			homens-hora. <br />			
			<br />Reduzindo o preço unitário de venda todos os custos, chega-se a
			conclusão de que cada unidade do produto tipo I da um lucro de
			R$20,00 e cada unidade do produto tipo II dá um lucro de R$60,00. O
			objetivo da empresa é obter o maior lucro possível com a produção e a
			venda das unidades dos produtos tipo I e II. 			
			<br />Para construir um
			modelo de Programação Linear temos que começar identificando o que se
			deseja saber ou conhecer no problema. A isto dá-se o nome de variável
			de decisão. Neste problema temos 2 variáveis de decisão que são: 
			<br />
			<br /> x1 - nº de unidades do produto I a serem produzidas no próximo mês.
			<br /> x2 - nº de unidades do produto II a serem produzidas no próximo mês.
			<br />Dessa forma a função de lucro total, que queremos maximizar,
			será uma função da forma:  MAX Z = 20x1 + 60x2 - função objetivo. <br />
			<br />Evidentemente que o nosso modelo não se restringe a função
			objetivo, pois se assim fosse, a solução seria simplesmente x1 = x2 = ∞, o que,
			sem muita análise, percebemos que é impossível bastando observar a
			quantidade disponível de qualquer uma das matérias primas. Desta
			forma os valores que  e  podem assumir estão condicionados pelas
			restrições do modelo que, no nosso exemplo, são as quantidades das 2
			matérias primas e quantidade de mão de obra disponível. Como vimos
			anteriormente,  e  representam as unidades dos 2 tipos de produto a
			serem fabricadas. Ora não podemos produzir, por exemplo, -10 unidades
			do produto tipo I ou do produto tipo II, ou seja, x1 e x2 não podem ser
			negativos. Matematicamente temos: x1,x2 &gt;=0. Podemos agora escrever todo o
			modelo de programação linear para o nosso exemplo: 
			<br /> <p:graphicImage  value="/resources/images/equacao.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Modelo de programação linear de até 3 variáveis podem ser
			resolvidos graficamente. Este tipo de solução não tem aplicação
			pratica pois os problemas do mundo real tem sempre muito mais
			variáveis (dezenas, centenas e até milhares). No entanto a solução
			gráfica nos ajudará a entender os princípios básicos do método
			analítico, chamado de método Simplex, usado para resolver os modelos
			de programação linear. Como x1 e x2 tem que ser &gt;= 0, ponto ótimo, ou
			seja o ponto que maximiza o valor de Z, obedecidas todas as
			restrições, só pode estar no 1º quadrante. Assim podemos traçar:    			
			<br />
			<p:graphicImage  value="/resources/images/grafico.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Vamos considerar a 1ª restrição na igualdade, ou seja 70x1 + 70x2 = 4900. Ela é
			uma equação de uma reta passando pelos pontos (70,0) e (0,70).
			Podemos então traça-la em nosso gráfico:  
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficob.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Como o ponto (0,0) está abaixo da reta e como (0,0) satisfaz a
			restrição, todos os pontos da reta para “baixo” são pontos que
			satisfazem a restrição. Vamos fazer o mesmo com a 2ª restrição que na
			igualdade, 90x1 + 50x2 = 4500 é uma reta que passa pelos pontos (50,0) e (0,90).
			Traçando-a temos:     
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficoc.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Como o ponto (0,0) está abaixo da reta e como (0,0) satisfaz a
			restrição, todos os pontos da reta para “baixo” são pontos que
			satisfazem a restrição. A 3ª restrição, na igualdade (2x1 = 80)  é uma reta
			paralela ao eixo x2 passando pelo ponto 40 em x1. Temos então: <br />
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficod.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Como ponto (0,0) esta a esquerda da reta e obedece a restrição,
			todos os pontos da reta para a esquerda são pontos que satisfazem a
			3ª restrição. A 4ª restrição na igualdade, 3x2 = 180 é uma reta paralela ao
			eixo x1, passando pelo ponto 60 no eixo x2 Traçando-a temos:     <br />
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficoe.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Como ponto (0,0) está abaixo da reta e obedece e restrição,
			todos os pontos da reta para baixo são pontos que satisfazem a 4ª
			restrição. Como todas as restrições foram traçadas temos o chamado
			Espaço Solução que é o conjunto de todos os pontos candidatos a serem
			o ponto ótimo ou seja todos os pontos que “obedecem” a todas as
			restrições do modelo. No gráfico o Espaço Solução é o polígono
			hachurado, como podemos ver a seguir: <br />
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficof.jpg"></p:graphicImage>
			<br />O ponto ótimo é um ponto do espaço solução, ou seja pertencente
			ao polígono hachurado. Como encontra-lo graficamente? Vamos observar
			a função objetivo: Z = 20x1 + 60X2. Graficamente esta equação representa uma família
			de retas paralelas, ou seja, para cada outro valor de Z, inclusive
			para aquela com o valor ótimo de Z. Vamos, arbitrariamente, escolher
			um valor para Z, por exemplo, Z = 1200. Temos então uma reta passando pelos
			pontos (60,0) e (0,20). No gráfico temos:     <br />
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficog.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Como queremos maximizar o valor de Z, vamos escolher agora um
			valor maior, por exemplo Z = 2400, ou seja uma reta passando pelos
			pontos (120,0) e (0,40). Vamos ver como fica graficamente:     <br />
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficoh.jpg"></p:graphicImage>
			<br />Como esperado, a nova reta Z = 2400 é uma reta paralela a
			anterior Z = 1200. Descobrimos também que se trançando paralelas a Z
			= 1200, acima dela, obtemos valores maiores para Z. Como obter o
			próximo ponto? Simplesmente traçando a paralela, mais alta possível,
			que toque pelo menos, um ponto do espaço da solução. Graficamente
			temos:     <br />
			<br /><p:graphicImage  value="/resources/images/graficoi.jpg"></p:graphicImage>
			<br />O “*” indica, em programação matemática o valor ótimo. Assim,
			 quer dizer o valor ótimo de . O ponto ótimo ter sido um dos vértices
			do espaço solução não é uma mera coincidência. Na verdade o ponto
			ótimo é sempre um dos vértices do espaço da solução a não ser quando
			temos múltiplas (infinitas) soluções ótimas, pois neste caso, os
			pontos ótimos são todos pertencentes a um dos lados do espaço
			solução.

		</p>
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